Рассмотрение поведения электронов в твердом теле основано на решении уравнения Шредингера.

     (1)

Здесь уравнение Шредингера представлено в одномерном случае, что не мешает нам получить определенные выводы об общем характере движения электрона в кристалле. Первая часть уравнения представляет собой оператор кинетической энергии, действующий на волновую функцию электрона. V(x)- оператор потенциала поля в котором электрон совершает движение. Принципиально важным является то, что V(x) обладает периодичностью кристаллической решетки твердого тела.

где а – период решетки.

Обычно решение этого уравнения распадается на 2 задачи:

1. Нахождение функции (х). Все рассмотрение основано на применении так называемой теоремы Блоха, согласно которой решением уравнения 1 будут функции вида

     (3)

где U(x) некоторая функция имеющая периодичность решетки U(x)=U(x+a)

Напомню, что решение уравнения Шредингера для свободного электрона дает для (х) следующее выражение:

     (4)

Уравнение 4 представляет собой обычное выражение для монохроматической плоской волны. Знаменательным является то, что уравнение 4 также описывает монохроматическую волну, но модулированную потенциалом решетки.

Рис. 1

2. Нахождение Е или нахождение собственных значений энергий электрона. Эта задача имеет много подходов, но все они приводят к известному результату, который известен как зонная модель движения электрона в твердом теле.
С общетеоретической точки зрения расчет электронных свойств наноструктур должен производится путем решения соответствующих трехмерных задач для объемного кристалла. Однако, как будет показано ниже наноструктуры представляют собой, как правило, чередующиеся полупроводниковые слои с различными физическими свойствами. Это приводит к наличию дополнительных резких скачков потенциала, что затрудняет применение обычных методов расчета. Наиболее часто для анализа свойств используют упрощенные модели.
Рассмотрим с точки зрения таких упрощенных моделей поведение электрона, когда на его движение наложено некоторое пространственное ограничение.

Рис. 2

Главный вывод хорошо известен, оказывается, что в том случае, когда движение происходит в ограниченной области, энергия электрона имеет строго определенные, дискретные значения. Говорят, что спектр энергий квантован. Обсудим природу этого явления.
Электрон не бегает в ограниченной области, как классическая частица. Если он заперт в атоме, молекуле или любой потенциальной яме, то волновая функция представляет стоячую волну. Если речь идет о прямоугольной потенциальной яме, то по своей форме волна будет такой же, как и в случае натянутой струны, однако, во-первых, природа волны здесь иная, а во-вторых, дискретным в этом случае будет не спектр частот, а спектр энергий. Стоячие волны, описывающие электронные состояния в яме, - это синусойды, обращающиеся в точках x=0 и x=a в нуль. Волновую функцию такого электрона можно представит в следующем виде

     (5)

где n – номер квантового состояния, a – размер ямы.

На рис.3 изображены три такие функции, соответствующие n=1,2,3... Мы видим, что электронная плотность в яме распределяется неравномерно, есть максимумы и минимумы плотности вероятности. Из формулы (5) следует также, что длины волн -функций, описывающих электронные состояния с различными n, удовлетворяют условиям , то есть в яме укладывается целое число полуволн.

Рис. 3 Волновые функции и энергии электрона, находящегося в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Tеперь найдем разрешенные уровни энергии электрона, находящегося в потенциальной яме. Это можно сделать решив уравнение Шредингера, но мы воспользуемся сейчас правилом квантования Н. Бора. Согласно постулату Бора, в потенциальной яме разрешены лишь те траектории, для которых импульс частицы p_n и ширина ямы a связаны соотношением

     (6)

Здесь n – номер квантового состояния. Определив отсюда разрешенные значения импульса, без труда найдем и уровни энергии в яме:

     (7)

Минимальная энергия частицы, находящейся в яме, не может быть равной нулю. Всегда существует так называемая энергия нулевых колебаний, которая, согласно формуле (7), равна . Посмотрим, какой порядок имеет величина первого уровня в реальной квантовой яме. Если ширина ямы равна 5 нм, то, согласно (7), имеем E₁=0,02эВ . Нужно, однако, иметь в виду, что электронная масса в кристалле может существенно отличаться от массы свободного электрона m=10^-27г. В типичной ситуации эффективная масса в квантовой яме в десять раз меньше массы свободного электрона. Tогда при той же ширине ямы получим E₁=0,2эВ. Эта величина и определяет характерный масштаб электронных энергий в квантовых структурах.